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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 11: Series

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4. Decida si cada una de las siguientes series es convergente o divergente:
c) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{3}+1}{4 n^{4}+5 n-1}$

Respuesta

En este caso, mirando la expresión de nuestra serie:

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{3}+1}{4 n^{4}+5 n-1}$

sospechamos que cuando $n$ sea muuuy grande, se va a comportar igual que $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$, que es una serie que sabemos que diverge por ser una serie $p$ con $p \leq 1$. 

Entonces, vamos a comparar nuestra serie con $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ usando el criterio de comparación vía límite:

$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^{3}+1}{4 n^{4}+5 n-1}}{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^4 + n}{4 n^{4}+5 n-1} = \frac{1}{4}$

Como el resultado del límite nos dio $>0$, entonces el criterio de comparación vía límite nos asegura que ambas series se comportan igual. Por lo tanto, nuestra serie diverge.
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valentina
29 de junio 17:49
Hola Flor! como andas? consulta, no me quedo claro como elegir la serie con la que la voy a comparar? por que no podría compararla con 1/n²? 
graciass
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Flor
PROFE
30 de junio 12:10
@valentina Hola Valen! Fijate en la clase "Series positivas (parte 2) Criterios de comparación", que justo a partir del minuto 2:00 está explicado esto con un ejemplo muy muy parecido... 

Acá en este caso lo razonamos igual que en el ejemplo que yo les mostraba en ese clase... Cuando $n$ sea muy grande, en el numerador va a dominar $n^3$ y en el denominador $n^4$, es decir, podemos sospechar fuertemente que nuestra serie se va a comportar igual que

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^3}{n^4}$

y si simplificas te queda:

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ ;)

Avisame si ahi queda más claro!
0 Responder
valentina
1 de julio 10:18
Graciass!!!
0 Responder