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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 11: Series

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4. Decida si cada una de las siguientes series es convergente o divergente:
c) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{3}+1}{4 n^{4}+5 n-1}$

Respuesta

En este caso, mirando la expresión de nuestra serie:

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{3}+1}{4 n^{4}+5 n-1}$

sospechamos que cuando $n$ sea muuuy grande, se va a comportar igual que $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$, que es una serie que sabemos que diverge por ser una serie $p$ con $p \leq 1$. 

Entonces, vamos a comparar nuestra serie con $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ usando el criterio de comparación vía límite:

$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^{3}+1}{4 n^{4}+5 n-1}}{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^4 + n}{4 n^{4}+5 n-1} = \frac{1}{4}$

Como el resultado del límite nos dio $>0$, entonces el criterio de comparación vía límite nos asegura que ambas series se comportan igual. Por lo tanto, nuestra serie diverge.
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Avatar lautydamian 23 de junio 19:26
Buenas Flor, una consulta ¿Si o si tengo que usar el criterio de comparación via límite o puedo directamente decir que diverge por la condición necesaria de covergencia? 
Avatar lautydamian 23 de junio 19:36
@lautydamian no dije nada, hice a ojo y lo hice mal jaj
Avatar Flor Profesor 24 de junio 11:20
@lautydamian Jajajaja claro claro, porque en este caso la condición necesaria de convergencia si se cumple, porque ese límite te da cero... igual eso no te asegura que la serie vaya a converger, así que por eso si o si teniamos que usar el criterio de comparación ;)
Avatar valentina 29 de junio 17:49
Hola Flor! como andas? consulta, no me quedo claro como elegir la serie con la que la voy a comparar? por que no podría compararla con 1/n²? 
graciass
Avatar Flor Profesor 30 de junio 12:10
@valentina Hola Valen! Fijate en la clase "Series positivas (parte 2) Criterios de comparación", que justo a partir del minuto 2:00 está explicado esto con un ejemplo muy muy parecido... 

Acá en este caso lo razonamos igual que en el ejemplo que yo les mostraba en ese clase... Cuando $n$ sea muy grande, en el numerador va a dominar $n^3$ y en el denominador $n^4$, es decir, podemos sospechar fuertemente que nuestra serie se va a comportar igual que

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^3}{n^4}$

y si simplificas te queda:

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ ;)

Avisame si ahi queda más claro!
Avatar valentina 1 de julio 10:18
Graciass!!!
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